본 내용은 해당 강의 토대로 작성
기타 그래프 이론
1. 크루스칼 알고리즘
신장 트리
- 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미
- 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 한다.
- 일부 간선만 활용
- 일부 간선을 사용하지 않아도 모든 노드를 이을 수 있으므로 유용한 경우가 있다.
최소 신장 트리
- N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우
- 두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치
- 포함되는 간선의 합이 최소가 되도록 한다.
- 최종적으로 만들어지는 최소 신장 트리의 포함된 간선 개수는 전체 노드 개수의 -1이다.
크루스칼 알고리즘
- 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
- 그리디 알고리즘
크루스칼 알고리즘 동작 과정
- 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순 정렬
- 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인
- 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함
- 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 미포함
- 모든 간선에 대해 2번의 과정을 반복
크루스칼 알고리즘 : 동작 과정 살펴보기
- 그래프의 모든 간선 정보에 대해서 오름차순 정렬을 수행한다.
| 간선 |
(1, 2) |
(1, 5) |
(2, 3) |
(2, 6) |
(3, 4) |
(4, 6) |
(4, 7) |
(5, 6) |
(6, 7) |
| 비용 |
29 |
75 |
35 |
34 |
7 |
23 |
13 |
53 |
25 |
- 가장 짧은 간선인 (3, 4)를 선택하여 처리
| 간선 |
(1, 2) |
(1, 5) |
(2, 3) |
(2, 6) |
(3, 4) |
(4, 6) |
(4, 7) |
(5, 6) |
(6, 7) |
| 비용 |
29 |
75 |
35 |
34 |
7 |
23 |
13 |
53 |
25 |
| 순서 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
- 같은 집합에 포함되지 않은 짧은 간선 순으로 위 동작을 반복한다.
| 간선 |
(1, 2) |
(1, 5) |
(2, 3) |
(2, 6) |
(3, 4) |
(4, 6) |
(4, 7) |
(5, 6) |
(6, 7) |
| 비용 |
29 |
75 |
35 |
34 |
7 |
23 |
13 |
53 |
25 |
| 순서 |
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
- 같은 집합에 포함되어 있은 경우, 최소 신장 트리에 포함하지 않는다.
| 간선 |
(1, 2) |
(1, 5) |
(2, 3) |
(2, 6) |
(3, 4) |
(4, 6) |
(4, 7) |
(5, 6) |
(6, 7) |
| 비용 |
29 |
75 |
35 |
34 |
7 |
23 |
13 |
53 |
25 |
| 순서 |
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
4 |
- 결과는 아래와 같다.(볼드 처리 : 최소 신장 트리)
| 간선 |
(1, 2) |
(1, 5) |
(2, 3) |
(2, 6) |
(3, 4) |
(4, 6) |
(4, 7) |
(5, 6) |
(6, 7) |
| 비용 |
29 |
75 |
35 |
34 |
7 |
23 |
13 |
53 |
25 |
| 순서 |
5 |
9 |
7 |
6 |
1 |
3 |
2 |
8 |
4 |
- 최소 신장 트리에 포함된 간선의 비용만 모두 더하면 그 값이 최종 비용이다.
크루스칼 알고리즘 구현
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)
2. 위상 정렬
- 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열
진입차수와 진출차수
- 진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
- 진출차수(outdegree) : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수
위상 정렬 알고리즘 동작 과정
- 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
- 큐가 빌 때까지 다음의 과정 반복
- 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거
- 새롭게 진입차수가 0이된 노드를 삽입
결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.
위상 정렬 동작 예시
- 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
| 노드 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 진입차수 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
큐 노드 1
- 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선 제거 후 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입(작은 번호의 노드가 큐에 우선 삽입)
| 노드 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 진입차수 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
큐 노드 2, 노드 5
- 노드 2를 꺼낸 뒤, 위 동작을 반복
| 노드 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 진입차수 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
1 |
큐 노드 5, 노드 3
- 진입차수가 0이 없는 경우 큐의 다음 노드를 수행하고 위 동작을 반복하면, 결과는 아래와 같다.
큐 삽입된 순서 : 1, 2, 5, 3, 6, 4, 7
위상 정렬 특징
- DAG(Direct Acyclic Graph)에 대해서만 수행 가능
- 여러가지 답 존재할 수 있다.
- 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우
- 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
- 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.
- 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수 있다.
위상 정렬 알고리즘 구현
from collections import deque
# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
# 진입 차수를 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end=' ')
topology_sort()
