본 내용은 해당 강의 토대로 작성
기타 그래프 이론
1. 서로소 집합
- 서로소 집합(Disjoint Sets) : 공통 원소가 없는 두 집합
서로소 집합 자료 구조
- 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료 구조
- 두 종류의 연산 지원
- 합집합(Union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
- 찾기(Find) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지를 알려주는 연산
- 합치기 찾기(Union Find) 자료 구조라고도 불림
서로소 집합 자료 구조 동작 과정
- 합집합(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인
- A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
- A'를 B'의 부모 노드로 설정
- 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복
동작 과정 살펴보기
- 노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화
Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
| 노드 번호 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 부모 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
- 노드 1과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾는다. 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 4의 부모를 1로 설정한다.
Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
| 노드 번호 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 부모 |
1 |
2 |
3 |
1 |
5 |
6 |
- 노드 2와 노드 3의 루트노드를 찾는다. 위와 같이 큰 루트 노드 3의 부모를 2로 설정한다.
Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
| 노드 번호 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 부모 |
1 |
2 |
2 |
1 |
5 |
6 |
- 노드 2와 노드 4의 루트 노드를 각각 찾는다. 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 2의 부모를 1로 설정한다.
Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
| 노드 번호 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 부모 |
1 |
1 |
2 |
1 |
5 |
6 |
- 노드 5와 노드 6의 루트 노드를 각각 찾는다. 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 6의 부모를 5로 설정한다.
Union(1, 4), Union(2, 3), Union(2, 4), Union(5, 6)
| 노드 번호 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 부모 |
1 |
1 |
2 |
1 |
5 |
5 |
- 연결성을 통해 집합의 형태를 확인한다.
| 루트를 1로 가지는 원소들 |
루트를 5로 가지는 원소들 |
| 1, 2, 3, 4 |
5, 6 |
서로소 집합 자료 구조 : 연결성
서로소 집합 자료 구조 : 기본적인 구현 방법
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')
서로소 집합 자료 구조 : 기본적인 구현 방법의 문제점
- 합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작
서로소 집합 자료구조 : 경로 압축
- 경로 압축(Path Compression)
- 찾기 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신
- 시간 복잡도 개선
- find함수만 아래로 바꿔준다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
2. 서로소 집합을 활용한 사이클 판별
- 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용 가능
- 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별
사이클 판별 알고리즘
- 각 간선을 하나씩 확인하여 두 노드의 루트 노드 확인
- 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대해서 합집합(Union) 연산을 수행
- 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것
- 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대해서 1번 과정을 반복
동작 과정 살펴보기
- 모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정하는 형태로 부모 테이블 초기화
- 간선 (1, 2)를 확인한다. 노드 1과 노드 2의 루트 노드는 각각 1과 2이므로 더 큰 번호에 해당하는 노드 2의 부모 노드를 1로 변경
- 간선(1, 3)을 확인. 더 큰 번호에 해당하는 노드 3의 부모 노드를 1로 변경
- 간선(2, 3)을 확인한다. 노드가 모두 1이므로 사이클이 발생한다는 것을 알 수 있다.
서로소 집합을 활용한 사이클 판별
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
cycle = False # 사이클 발생 여부
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print("사이클이 발생했습니다.")
else:
print("사이클이 발생하지 않았습니다.")
